Resolución de ecuaciones cuadráticas en dos variables enteras

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ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
 
 
 
 
 
 
 

Esta calculadora resuelve ecuaciones de la forma a⁢x² + b⁢x⁢y + c⁢y² + dx + ey + f = 0 donde las incógnitas x e y son números enteros.

El programa acepta números de hasta 10000 dígitos, pero el algoritmo utilizado requiere factorizar algunos números (en general los números grandes no se pueden factorizar en un tiempo razonable). El motor de factorización utilizado es el la aplicación de factorización de números enteros, que usa los métodos ECM y SIQS.

Si hay muchas soluciones, la aplicación se puede quedar sin memoria y no mostrará ningún resultado.

Expresiones

Puedes ingresar expresiones que usen los siguientes operadores y paréntesis:

  • + para suma
  • - para resta
  • * para multiplicación
  • / para división entera
  • % para el resto de la división entera
  • ^ o ** para exponenciación (el exponente debe ser mayor o igual que cero).
  • <, ==, >; <=, >=, != para comparaciones. Los operadores devuelven cero si es falso y -1 si es verdadero.
  • AND, OR, XOR, NOT para lógica binaria. Las operaciones se hacen en binario (base 2). Se agregan infinitos ceros (unos) a la izquerda de los números positivos (negativos).
  • SHL: Si b ≥ 0, a SHL b desplaza el valor a a la izquierda la cantidad de bits especificada por b. Esto equivale a a × 2b. En caso contrario, a SHL b desplaza el valor a a la derecha la cantidad de bits especificada por −b. Esto equivale a floor(a / 2b). Ejemplo: 5 SHL 3 = 40.
  • SHR: Si b ≥ 0, a SHR b desplaza el valor a a la derecha la cantidad de bits especificada por b. Esto equivale a floor(a / 2b). En caso contrario, a SHR b desplaza el valor a a la izquierda la cantidad de bits especificada por −b. Esto equivale a a × 2b. Ejemplo: -19 SHR 2 = -5.
  • n!: factorial (n debe ser mayor o igual que cero). Ejemplo: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720.
  • p#: primorial (producto de todos los primos menores o iguales a p). Ejemplo: 12# = 11 × 7 × 5 × 3 × 2 = 2310.
  • B(n): Número probablemente primo anterior a n. Ejemplo: B(24) = 23.
  • F(n): Número de Fibonacci Fn que corresponde a la secuencia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. donde cada elemento es igual a la suma de los dos anteriores. Ejemplo: F(7) = 13.
  • L(n): Número de Lucas Ln = Fn-1 + Fn+1
  • N(n): Número probablemente primo posterior a n. Ejemplo: N(24) = 29.
  • P(n): particiones irrestrictas (cantidad de descomposiciones de n en sumas de números enteros sin tener en cuenta el orden). Ejemplo: P(4) = 5 porque el número 4 se puede particionar de 5 formas distintas: 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1.
  • Gcd(m,n): Máximo común divisor de estos dos números enteros. Ejemplo: GCD(12,16) = 4.
  • Modinv(m,n): inverso de m modulo n, sólo válido cuando m y n son coprimos, es decir que no tienen factores en común. Ejemplo: Modinv(3,7) = 5 porque 3 × 5 ≡ 1 (mod 7)
  • Modpow(m,n,r): halla mn módulo r. Ejemplo: Modpow(3, 4, 7) = 4, porque 34 ≡ 4 (mod 7).
  • Totient(n): cantidad de enteros positivos menores que n coprimos con n. Ejemplo: Totient(6) = 2 porque 1 y 5 no tienen factores en común con 6.
  • IsPrime(n): retorna cero si n no es un primo probable y -1 si lo es. Ejemplo: IsPrime(5) = -1.
  • NumDivs(n): cantidad de divisores positivos de n. Ejemplo: NumDivs(28) = 6 porque los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
  • SumDivs(n): suma de todos los divisores positivos de n. Ejemplo: SumDivs(28) = 56 porque 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56.
  • NumDigits(n,r): cantidad de dígitos de n en base r. Ejemplo: NumDigits(13, 2) = 4 porque 13 en binario (base 2) se expresa como 1101.
  • SumDigits(n,r): suma de dígitos de n en base r. Ejemplo: SumDigits(213, 10) = 6 porque la suma de los dígitos expresados en decimal es 2+1+3 = 6.
  • RevDigits(n,r): halla el valor que se obtiene escribiendo para atrás los dígitos de n en base r. Ejemplo: RevDigits(213, 10) = 312.
  • ConcatFact(m,n): concatena los factores primos de n de acuerdo al modo expresado en m según lo indicado en la siguiente tabla:
    Modos de la función ConcatFact
    ModoOrden de los factoresFactores repetidos
    0CrecienteNo
    1DecrecienteNo
    2Creciente
    3Decreciente

Puedes usar el prefijo 0x para números hexadecimales, por ejemplo 0x38 es igual a 56.

El símbolo de exponenciación no se encuentra en algunos dispositivos móviles. En este caso se puede ingresar dos asteriscos (**) para representar el operador de exponenciación.

Código fuente

Puedes bajar el código fuente de esta aplicación y del viejo applet de ecuaciones cuadráticas enteras desde GitHub. El código fuente está escrito en lenguaje C, por lo que es necesario Emscripten para generar Javascript.

Escrito por Dario Alpern. Actualizado el 31 de marzo de 2020.

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